ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ


1. ประโยคเปิด

     คือ ประโยคบอกเล่า หรือ ประโยคปฏิเสธที่กล่าวถึงสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ ในรูปของตัวแปร โดยให้ตัวแปรแทนสมาชิกใดๆ ในเอกภพ ประโยคเปิดไม่เป็นประพจน์ เพระาไม่สามารถบอกได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ แต่สามารถทำให้ประโยคเปิดเป็นประพจน์ได้ โดย

      1.1  โดยการแทนค่าตัวแปรในประโยคเปิดด้วยสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งของเอกภพสัมพัทธ์
      1.2  โดยเติมตัวบ่งปริมาณลงหน้าประโยคเปิด

ตัวอย่างที่
พิจารณาเซตของคน 4 คน คือ นก น้อย น้อง และนุ่น และข้อความต่อไปนี้

         นกกินข้าว
         น้อยกินข้าว
         น้องกินข้าว
         นุ่นกินข้าว

    ถ้าข้อเท็จจริงคือ นุ่นเท่านั้นที่กินข้าว
ข้อความทั้ง 4 นี้ เป็นประพจน์
แต่เพราะแต่ละข้อความมีค่าความจริงเพียงค่าเดียวเท่านั้น คือ ข้อ 4 ส่วน 3 ข้อความแรกมีค่าความจริงเป็นเท็จ 
     แต่ข้อความ “เขากินข้าว”  ไม่ใช่ประพจน์ เพราะเราไม่รู้ว่า เขา หมายถึง ใคร

ตรรกศาสตร์ของข้อความบ่งปริมาณ

  บทนิยาม 1.1       ประพจน์บ่งปริมาณ  คือ  ประโยตเปิดที่ตัวแปรมีเอกภพสัมพัทธ์  และมีตัวบ่งปริมาณกำกับอยู่ด้วย

1.1  ประพจน์บ่งปริมาณที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว
         ประพจน์บ่งปริมาณ  แบ่งได้เป็น  2  แบบ  ตามลักษณะของสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่นำมาแทนตัวแปร

         แบบที่1  กำหนดให้สมาชิกทั้งหมดในเอกภพสัมพัทธ์มาแทนตัวแปร  วลีแบบนี้ คือ ” สำหรับทุก ” หรือ ” สำหรับแต่ละ ” ( for  all  or  for  each )
                        เรียกว่าเป็น  ตัวบ่งปริมาณ  ” ทั้งหมด ”  ( Universal  quantifier )  เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  ”    ” 
        ถ้า   P(x)  เป็นข้อความฟังก์ชั่น  และ  U  เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ  x  สำหรับทุก  x  , P(x)
       เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์     หรือ    หรือ    หรือ  

        แบบที่ 2  กำหนดให้สมาชิกบางตัว (หรืออย่างน้อยหนึ่งตัว)  มาแทนตัวแปร  วลีแบบนี้ คือ  ” สำหรับบาง ” หรือ  ” สำหรับอย่างน้อยหนึ่ง ”
                       หรือ  ” มีอย่างน้อยหนึ่ง ”  ( for  some  or  there  exist )  เรียกว่าเป็นตัวบ่งปริมาณ  ” มีอย่างน้อยหนึ่ง ”  ( existential  quantifier )
                       เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์   ”    ”
        ถ้า   P(x)  เป็นประโยคเปิด  และ  U  เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ  x  สำหรับบาง   x  , P(x)
       เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์     หรือ    หรือ    หรือ  
      นอกจากนี้  ยังมีตัวบ่งปริมาณ  ” สำหรับบาง ”  ที่เฉพาะเจาะจงลงไปอีก คือ  วลี ” มีและมีอย่างมากเหียงหนึ่ง ”  หรือ ” มีเพียงหนึ่ง ”
                     ( there  is  at  most  one  or  there  exists  a  unique )  เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  ”
      เช่น   ”  มีจำนวนเต็ม  x  เพียงจำนวนเดียวเท่านั้น  ซึ่ง  x + 3 = 5  เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์   

1.1.1   ค่าความจริงของ   

บทนิยาม  1.2        มีค่าความจริงเป็นจริง  ก็ต่อเมื่อ  ในการแทนที่  x  ด้วยสมาชิก  a  ทุกตัวของเอกภพสัมพัทธ์  แล้ว  P(a)  มีค่าความจริงเป็นจริง

บทนิยาม  1.3        มีค่าความจริงเป็นเท็จ  ก็ต่อเมื่อ  ในการแทนที่  x  ด้วยสมาชิก  b บางตัวของเอกภพสัมพัทธ์  แล้ว  P(b)  มีค่าความจริงเป็นเท็จ
 
 
1.1.2   ค่าความจริงของ   

บทนิยาม  1.4        มีค่าความจริงเป็นจริง  ก็ต่อเมื่อ  มีสมาชิก  a  อย่างน้อยหนึ่งตัวของเอกภพสัมพัทธ์  ซึ่ง  P(a)  มีค่าความจริงเป็นจริง

บทนิยาม  1.5        มีค่าความจริงเป็นเท็จ  ก็ต่อเมื่อ  ในการแทนที่  x  ด้วยสมาชิก  b ทุกตัวของเอกภพสัมพัทธ์  แล้ว  P(b)  มีค่าความจริงเป็นเท็จ
 
หมายเหตุ    1.  สำหรับประโยคเปิด  P(x)  ใด ๆ  ที่ตัวแปรมีเอกภพสัมพัทธ์ ไม่เป็นเซตว่าง  จะได้ว่า
                            เป็นจริงเสมอ
                        2.  ในกรณีที่ประพจน์บ่งปริมาณ  มีตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์แฝงอยู่
                        2.1)  โดยทั่วไป  จะใช้ตัวเชื่อม  ” ถ้า……..แล้ว ”  ในประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ  ” ทั้งหมด ”   
                        2.2)  จะใช้ตัวเชื่อม  ” และ ”  ในประโยคที่มีตัวบ่งปริมาณ  ”  “

1.1.3   นิเสธของประพจน์บ่งปริมาณที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว

 ทฤษฎีบท  1.1      เป็นสัจนิรันดร์
 
ทฤษฎีบท  1.2      เป็นสัจนิรันดร์
 
ทฤษฎีบท  1.3      เป็นสัจนิรันดร์
 
ทฤษฎีบท  1.4      เป็นสัจนิรันดร์
 
ทฤษฎีบท  1.5   1)      
                          2)   
                         3)   
                         4)   

1.2  ประพจน์บ่งปริมาณที่มีสองตัวแปร

 บทนิยาม  1.6  เมื่อให้  P(x,y)  เป็นประโยคเปิดที่มีตัวแปร  x  และ  y
                        1)      หมายถึง   
                              นั่นคือ     หมายความว่า   สำหรับทุก  x  สำหรับทุก  y  มีเงื่อนไข  P(x,y)
                       2)      หมายถึง   
                              นั่นคือ     หมายความว่า   สำหรับทุก  x  มีบาง  y   ที่มีเงื่อนไข  P(x,y)
                       3)      หมายถึง   
                              นั่นคือ     หมายความว่า   มีบาง  x  ที่สำหรับทุก  y   ที่มีเงื่อนไข  P(x,y)
                       4)      หมายถึง   
                              นั่นคือ     หมายความว่า   มีบาง  x  มีบาง  y   ที่มีเงื่อนไข  P(x,y)
 
หมายเหตุ   ถ้า  A  และ  B  เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ  x  และ  y  ตามลำดับ  เราอาจจะเขียน
                          เป็น   
                         เป็น   

1.3  ค่าความจริงของประพจน์บ่งปริมาณที่มี  2  ตัวแปร

               จากบทนิยาม  1.6  จะได้ว่า     และ     มีค่าความจริงอันเดียวกัน
                     ถ้าให้   A  และ  B  เป็นเอกภพสัมพัทธ์ของ  x  และ  y  ตามลำดับ
                       มีค่าความจริงเป็นจริง  ก็ต่อเมื่อ  ในการแทน  x  ด้วยสมาชิก  a  ทุกตัวของ  A  จะได้    มีค่าความจริงเป็นจริง
                    เนื่องจาก    มีค่าความจริงเป็นจริง  ก็ต่อเมื่อ  ในการแทน  y  ด้วยสมาชิก  b  ทุกตัวของ B  จะได้    มีค่าความจริงเป็นจริง
         ดังนั้น    มีค่าความจริงเป็นจริง  ก็ต่อเมื่อ  ในการแทน  x  และ  y  ด้วยสมาชิก  a  ทุกตัวของ  A  และ  b  ทุกตัวของ  B  
                    จะได้    มีค่าความจริงเป็นจริง
                       มีค่าความจริงเป็นเท็จ    ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิก  a  บางตัวของ  A   ซึ่งทำให้     มีค่าความจริงเป็นเท็จ
                     เนื่องจาก    มีค่าความจริงเป็นเท็จ   ก็ต่อเมื่อ  มีสมาชิก  b  บางตัวของ B  จะได้    มีค่าความจริงเป็นเท็จ
         ดังนั้น    มีค่าความจริงเป็นเท็จ  ก็ต่อเมื่อ  มีสมาชิก  a  บางตัวของ  A  และ  b  บางตัวของ  B  
                    ซึ่งทำให้    มีค่าความจริงเป็นเท็จ

ใส่ความเห็น

ใส่ความเห็น

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s